Bài 1:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy+2=2x+y\left(1\right)\\2xy+y^2+3y=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Rightarrow xy-y+2-2x=0\)

\(\Rightarrow y\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\). Thay vào (2) ta được:

\(2y+y^2+3y=6\)

\(\Leftrightarrow y^2+5y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y^2+y-6y-6=0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)-6\left(y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\y=6\end{matrix}\right.\)

Với \(y=2\). Thay vào (2) ta được:

\(2x.2+2^2+3.2=6\)

\(\Leftrightarrow4x+4+6=6\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x,y) \(\in\left\{\left(1;-1\right),\left(1;6\right),\left(-1;2\right)\right\}\)

Bài 2:

\(f\left(x\right)=x^4+6x^3+11x^2+6x\)

\(=x\left(x^3+6x^2+11x+6\right)\)

\(=x\left(x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6\right)\)

\(=x\left[x^2\left(x+1\right)+5x\left(x+1\right)+6\left(x+1\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b) Ta có: \(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=x\left(x+3\right).\left(x+1\right)\left(x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2+3x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2\left(x^2+3x\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Vì x là số nguyên nên \(f\left(x\right)+1\) là số chính phương.

Lời giải:

a.

Từ $x+y=2\Rightarrow y=2-x$. Thay vào PT(2):
$(m+1)x+m(2-x)=7$

$\Leftrightarrow x+2m=7$

$\Leftrightarrow x=7-2m$

$y=2-x=2-(7-2m)=2m-5$

Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(7-2m, 2m-5)(*)$

Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 0$, một số $\leq 0$ thì $xy\leq 0< 1$

Nếu $x,y$ cùng $\geq 0$ thì áp dụng BĐT Cô-si:

$2=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 1$

Vậy tóm lại $xy\leq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra với mọi $m$ thì hpt luôn có nghiệm $x,y$ thỏa mãn $xy\leq 1$

b.

$xy>0$

$\Leftrightarrow (7-2m)(2m-5)>0$

$\Leftrightarrow 7> 2m> 5$

$\Leftrightarrow \frac{7}{2}> m> \frac{5}{2}$

Do $m$ nguyên nên $m=3$

Thử lại thấy đúng.

\(f\left(-2\right)-f\left(1\right)=\left(-2\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-2\right)}-\left(1^2+2+\sqrt{2-1}\right)\) \(=8-4=4\).
\(f\left(-7\right)-g\left(-7\right)=\left(-7\right)^2+2+\sqrt{2-\left(-7\right)}-\left(-2.\left(-7\right)^3-3.\left(-7\right)+5\right)=-658\)

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:

\(t^2-3m.t+m=0\) (1) 

Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)

\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)

TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)

\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)

2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)

Ko tồn tại m thỏa mãn

Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?